<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          9 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
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          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadores
          Clia Rosa e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
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          Tel.: (11) 3598-6000
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          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,

                                I
<R+>
 Sumrio 

 Unidade 2

 Segunda Parte

 6 -- Transformando e 
  simplificando uma 
  expresso :::::::::::::::: 125 
 Tratando a informao 
  Interpretao de grfico 
  de linhas :::::::::::::::: 142 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 145
 
 Unidade 3

 Calculando com 
  Radicais :::::::::::::::: 150
 7 -- Raiz ensima de um 
  nmero real :::::::::::::: 154
 8 -- Radical aritmtico e 
  suas propriedades :::::::: 162 
 Propriedades :::::::::::::: 163 
 9 -- Simplificando 
  radicais: extrao de 
  fatores do radicando ::::: 175 
 10 -- Introduzindo um 
  fator externo no 
  radicando :::::::::::::::: 186 
 11 -- Adicionando 
  algebricamente dois ou 
  mais radicais :::::::::::: 189 
 12 -- Multiplicando 
  expresses com radicais de 
  mesmo ndice ::::::::::::: 199
 Utilizando a propriedade 
  distributiva na 
  multiplicao de 
  radicais ::::::::::::::::: 204
 13 -- Dividindo expresses 
  com radicais de mesmo 
  ndice ::::::::::::::::::: 209 
 14 -- Multiplicando e 
  dividindo expresses com 
  radicais de ndices 
  diferentes ::::::::::::::: 212 
 Reduo de dois ou mais 
  radicais ao mesmo 
  ndice ::::::::::::::::::: 212 
 Multiplicao e diviso de 
  radicais com ndices 
  diferentes ::::::::::::::: 215 
 15 -- Potenciao de uma 
  expresso com radicais ::: 217 
<p>
                             III
 Recordando os produtos 
  notveis ::::::::::::::::: 218 
 Resoluo de equaes 
  irracionais :::::::::::::: 223 
 16 -- Racionalizando 
  denominadores de uma 
  expresso fracionria :::: 226 
 17 -- Simplificando 
  expresses com 
  radicais ::::::::::::::::: 236 
 18 -- Potncias com 
  expoente racional :::::::: 239 
 Tratando a informao 
  O desvio padro ::::::::: 248 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 252 

<p>
<45>
<ta c. da mat. 9 ano>
<T+125>
<R+>
 6 -- Transformando e 
  simplificando uma expresso
<R->

  Muitas vezes  conveniente escrever um nmero em forma de potncia.

 _`[O moo diz_`]
  "Essa forma
de escrever os
nmeros  muito usada
na simplificao de
expresses em que
aparecem nmeros
muito grandes..."

 _`[A moa diz_`]
  "... ou muito pequenos."

  Considere os exemplos a seguir.

<R+>
 1- Escrever o nmero 0,0000001 na forma de potncia de 10.
 0,0000001=110.000.000=
  =1107=10-7
 0000001 -- 7 casas decimais
 10.000.000 -- 7 zeros

<p>
 2- Escrever a expresso ?25649*87 na forma de uma nica potncia de 2.
  Decompondo 256, 4 e 8 em fatores primos, temos: 256=28, 4=22, 8=23.
  Da, teremos a seguinte expresso:
 ?25649*87=
  =?28`(22`)9*`(23`)7=
  =?28218*221=
  =226221=25

 ?28`(22`)9*`(23`)7=
  =?28218*221=
  =226221 -- aplicando as propriedades da potenciao

<46>
 3- Simplificar a expresso ?`(a5b2`)4*
  ?`(a2b4`)6*.
 `(a5b2`)4`(a2b4`)6=
  =?`(a5`)4`(b2`)4*
  ?`(a2`)6`(b4`)6*=
  =?a20b8*a12b24*=
  =a20a12b8b24=
  =a8b-16=a81b16=
  =a8b16
<L>
 4- Simplificar a expresso ?1210-310-4109*
  ?310-1104*.
 ?1210-310-4109*?3
  10-1104*=?12102*
  ?3103*=123102
  103=410-1=4110=
  =410 ou 0,4
 
 Exerccios

 1. Escreva na forma de potncia de 2 cada um dos nmeros:
 a) 64 
 b) 1128
 c) 1512
 d) 2.048

 2.  possvel escrever 729 na forma de potncia
de 3. Qual  essa forma?
 3. Se voc indicar 1625 na forma de potncia
de 5, qual ser essa potncia?

<p>
 4. Os nmeros a seguir podem ser escritos na
forma de potncia de 10. Escreva-os dessa forma:
 a) 100.000.000 
 b) 0,00001 
 c) 0,0000001
 d) 1.000

 5. Dada a expresso `(81`)-2, escreva essa expresso
na forma de potncia de 3 com expoente
inteiro positivo.

 6. Escreva os nmeros a seguir na forma de
um produto de dois fatores, sendo um dos fatores
um nmero inteiro maior que 1 e menor
que 10, e o outro uma potncia de 10:
 a) 700 
 b) 0,06 
 c) 0,00007 
 d) 0,002
 e) 0,000009
 f) 0,5

<p>
 7. Aplicando as propriedades das potncias,
escreva na forma de uma nica potncia de 3 a
expresso ?9327-4
  3-7*?3-12432*.
 8. Aplicando as propriedades das potncias,
escreva a expresso ?125625-3*
  ?`(52`)-3257* 
na forma de uma nica potncia de 5.
 9. Aplicando as propriedades das potncias,
escreva na forma de uma nica potncia de 2 a
expresso `(162643`)
  1.0242.
 10. Dada a expresso algbrica a?bc*, determine
o seu valor numrico, sabendo que:

 a=16-6 
 b=8-3 
 c=4-10

 11. Sabendo que x e y so dois nmeros reais
no nulos, use as propriedades da potenciao para 
<p>
  simplificar cada uma das expresses:
 a) ?`(x-2y`)-5*?`(x-3
  y2`)-4*
 b) ?`(x6y-2`)5*?`(x7
  y-4`)3*

 12. Simplifique a expresso a seguir, escrevendo
o resultado com expoente positivo.

 ?610-310-4108*
  ?610-1104*
<R->

<47>
 Brasil Real

 wr Geografia
  Histria

  As embarcaes movidas a vapor, chamadas popularmente de "gaiolas", predominaram durante 
dcadas na navegao do Rio So 
 Francisco. 
  Um desses vapores, o Benjamim Guimares, construdo em 1913, nos EUA, navegou no Rio 
 Mississpi e, posteriormente, em rios da Bacia Amaznica antes de ser comprado pela firma 
Jlio Guimares, na segunda metade da dcada de 1920. A partir de ento o vapor realizou contnuas 
viagens ao longo do Rio So Francisco, sendo mais utilizado no transporte de cargas do 
que de passageiros.
  Em agosto de 1985 o vapor Benjamim Guimares foi tombado pelo Instituto Estadual do Patrimnio 
Histrico e 
 Artstico (IEPHA/MG) e, em 1997, foi doado para a prefeitura de Pirapora. 
  Totalmente reformado, em 2004 voltou a navegar pelas guas do velho Chico (como o Rio So 
Francisco  carinhosamente chamado), sendo a nica embarcao do mundo a navegar a vapor 
ainda hoje. Tem capacidade para 140 pessoas, entre tripulantes e passageiros, e consome 1 m3 
de lenha por hora. Faz rotineiramente pas-
<p>
 seios pblicos, sempre lotado de turistas. 

<R+>
 _`[{imagem do Rio So 
  Francisco_`]
 Legenda: O Rio So Francisco nasce na Serra da Canastra (MG) e desemboca no 
Oceano Atlntico, entre Sergipe e 
  Alagoas. Possui 2.800 km 
de extenso e drena uma rea de aproximadamente 641.000 km2.
<R->

 Fonte: ~,www.ahsfra.gov.br~, 
  Acesso em: 27 jan. 2009.

  Responda s questes a seguir, representando os nmeros na forma de um produto de dois 
fatores, sendo um deles um nmero inteiro maior ou igual a 1 e menor que 1.000 e o outro uma 
potncia de 10. 

<R+>
 1. Qual a extenso do Rio So Francisco, em metros? 
<p>
 2. Qual a rea drenada, aproximadamente, em m2, por esse rio? 
 3. Se um passeio no vapor 
  Benjamim Guimares dura, em mdia, 4 horas, quantos cm3 de lenha so consumidos? 
 4. Repleto de passageiros e tripulantes, o Benjamim Guimares desloca um volume de gua de 240 m3, aproximadamente. Quantos litros de gua so deslocados por esse vapor? 
<R->

<48> 
<p>
 Desafio!
 
  Qual  o segredo da sequncia? 

<R+>
 _`[{sequncia adaptada_`]
 Legenda:
 li -- bolinha lils
 ve -- bolinha vermelha
 vd -- bolinha verde
 am -- bolinha amarela

 li :> 1=12

 li ve
 ve ve :> 1+3=4=22
  (soma dos dois primeiros nmeros mpares naturais)

 li ve vd
 ve ve vd
 vd vd vd :> 1+3+5=9=32
  (soma dos trs primeiros nmeros mpares naturais)

<p>
 li ve vd am
 ve ve vd am
 vd vd vd am
 am am am am :> 1+3+5+7=16=42
  (soma dos quatro primeiros nmeros mpares naturais)
<R->
  
  Descobriu qual  o segredo? 

 Chegou a sua vez! 

<R+>
 1. Qual  a soma dos 20 primeiros nmeros mpares naturais? 
 2. Qual  a soma dos 100 primeiros nmeros mpares naturais? 
 3. Qual  a expresso que representa a soma dos *n* primeiros nmeros mpares naturais? 
 4. O nmero 900 representa a soma de quantos e quais nmeros mpares naturais? 

<p>
 wr Cincias
 
 A distncia da Terra ao Sol e a notao cientfica
<R->

  Quando lidamos com nmeros muito grandes ou muito pequenos, podemos escrev-los usando a notao cientfica. 
  A distncia mdia da Terra ao Sol  150.000.000 km. Como escrever essa distncia usando a notao cientfica? 
  Inicialmente, temos: 

 150.000.000=1510.000.000=
  =15107
 
  Na notao cientfica, um dos fatores deve ser maior que 1 e menor que 10, enquanto o outro fator deve ser uma potncia de 10. 

<49> 
<p>
<R+>
 _`[{ilustrao: distncia entre a Terra e o Sol 
  =150.000.000 km_`]
 Legenda: Representao esquemtica da distncia entre a Terra e o Sol. Os astros no esto 
representados na real proporo entre si. As cores utilizadas no correspondem aos tons reais. 
<R->

  Para isso, vamos dividir o fator 15 por 10 e multiplicar o fator 107 por 10 para 
no alterar o nmero. 

 151010710=1,5108

  Ento, a distncia mdia da Terra ao Sol  1,5108 km, na notao cientfica. 

 Chegou a sua vez! 

  Escreva em seu caderno os nmeros destacados nos textos a seguir em notao cientfica. 
<p>
<R+>
 a) O prefixo mega (vem do grego e significa "grande")  usado em expresses como megaton, que equivale a 1.000.000 toneladas, e megawatt, que equivale a *1.000.000* watts. 
 b) Em um grama de gua h *23.000.000.000.000.000.000~
  .jjj* de molculas. 
 c) Em 2006, o aparelho celular era usado por *1,5 bilho* de pessoas no mundo. 
 d) O dimetro do planeta Marte mede cerca de *6.800* km, e a distncia mnima de Marte ao Sol  *205.000.000* km. 
 e) O dimetro de um tomo de hidrognio mede *0,0000000106* cm. 
 f) A velocidade da luz  *300.000* km/s. 
 g) Um ano tem, aproximadamente, *trinta e dois milhes de segundos*. 
<p>
 h) A rea oficial de um campo de futebol  de, aproximadamente, *0,01* km2. 

 Fonte para os itens *b* e *c*: *Revista do Professor de Matemtica*. So Paulo: IME/
  /USP. n. 63. 
<R->

 Brasil Real 

 wr Geografia 

  O Amazonas  o maior estado brasileiro em rea e 
detm uma imensa biodiversidade. De acordo com dados 
do IBGE (2007), o 
 Amazonas ocupa uma rea de 
1.570.745 km2, com uma populao de 3.221.939 habitantes. 
  Usando o que aprendemos no 7 ano (captulo de 
razes) e a mquina de calcular, vamos determinar a 
densidade demogrfica do 
 Amazonas em 2007: 

<p>
<R+>
 Densidade demogrfica = nmero de habitantes  rea ocupada em km2 

 Densidade demogrfica 
  =3.221.939 hab. 
  1.570.745 km2^=
  ^=2,05 hab./km2 
<R->

<50> 
  Fazendo aproximaes e usando a notao cientfica e as propriedades das potncias de 
mesma base, vamos agora calcular a densidade demogrfica aproximada do estado do Amazonas 
em 2007: 
<R+>
 o Populao =3.221.939 hab. ou 3.300.000 hab., aproximadamente; 
 o Na notao cientfica: 3.300.000=3,3106; 
 o Superfcie =1.570.745 km2 ou 1.600.000 km2, aproximadamente; 
 o Na notao cientfica: 1.600.000=1,6106. 

<p>
 Densidade demogrfica =?3,3106*?1,6106*=
  =3,31,6106106^=
  ^=2,06100=2,061=2,06
<R->
 
  Note que, utilizando aproximaes, obtivemos um resultado (2,06) bem prximo do real (2,05), 
um erro menor que 1%. 
  Agora, faa uma pesquisa sobre a populao e a rea do seu estado e do seu municpio. Usando 
os dois processos aqui apresentados, calcule a densidade demogrfica do estado e do municpio 
onde voc mora. Compare os resultados e avalie a diferena entre os valores. 

<p>
<R+>
 Tratando a informao 

 Interpretao de grfico de 
  linhas 

 wr Economia

 _`[{grfico de linhas "Investindo em outras terras" adaptado, em forma de tabela_`]
 Em 2006, os investimentos do Brasil no exterior foram maiores 
do que os recursos aplicados pelos estrangeiros no setor produtivo do pas. 
 Legenda:
 A -- Investimentos diretos estrangeiros no pas 
 B -- Investimentos diretos brasileiros no exterior 

 (em bilhes de dlares)

<p>
 !::::::::::::::::::::::::::
 l Ano  _      A     _  B  _
 r:::::::w:::::::::::::w::::::w
 l 2000 _ 33         _ 2,3 _
 r:::::::w:::::::::::::w::::::w
 l 2001 _ 22,4       _ 2,3 _
 r:::::::w:::::::::::::w::::::w
 l 2002 _ 16,6       _ 2,5 _
 r:::::::w:::::::::::::w::::::w
 l 2003 _ 10,1       _ 0,2 _
 r:::::::w:::::::::::::w::::::w
 l 2004 _ 18,1       _ 9,8 _
 r:::::::w:::::::::::::w::::::w
 l 2005 _ 15,1       _ 2,5 _
 r:::::::w:::::::::::::w::::::w
 l 2006 _ 15,5 (*) _ 26  _
 h:::::::j:::::::::::::j::::::j

 (*) Expectativa

 Fonte: *Veja*. So Paulo: Abril, 1 nov. 2006. 

<p>
 Chegou a sua vez! 

 1. Explique com suas palavras o que a notcia quer dizer. 
 2. Em que ano a diferena entre os investimentos estrangeiros no Brasil e os investimentos brasileiros  
no exterior foi maior? Quantos bilhes de dlares a mais? 
 3. Antes de 2006, no perodo apresentado no grfico, em que ano os investimentos brasileiros no 
exterior mais se aproximaram dos investimentos estrangeiros? Explique como voc fez para indicar 
esse ano. 
 4. Faa uma tabela colocando na primeira coluna o ano, na segunda, os investimentos estrangeiros 
no Brasil e, na terceira, os investimentos brasileiros no exterior. Complete a tabela de acordo 
com o grfico, expressando os valores, em dlares, em notao cientfica. 
<R->

<51> 
<p>
 Retomando o que aprendeu 

  Responda s questes em seu caderno. 
<R+>
 1. Qual  o valor numrico da expresso 43^pr3, considerando ^p=3,14 e r=+3? 
 a) 110,04 
 b) 112,04 
 c) 113,04 
 d) 113,14 
 e) 114,04 

 2. A forma mais simples de se escrever a expresso `(x2`)3`(x4`)5`(x3`)-7, com x=0, : 
 a) x5 
 b) x-5 
 c) x3 
 d) x-3 
 e) x4 

 3. Qual  o nmero real expresso por `[?9-2*?-10+23+
  +`(-2`)2*`]-3?
<p>
 a) 6 
 b) -6 
 c) -8 
 d) 8 
 e) 10 

 4. Se voc simplificar a expresso ?0,1`(0,001`)10-1*
  ?10`(0,0001`)*, voc vai obter: 
 a) 102 
 b) 10-2 
 c) 103 
 d) 10-3 
 e) 10-1 

 5. A forma mais simples de se escrever a expresso  ?2x-1*?y-1-2x-1* : 
 a) 2x?x-2y* 
 b) 2y?2x-y* 
 c) y?x-2y* 
 d) 2?x-2y* 
 e) 2y?x-2y* 

 6. Sendo a=`(22`)3, b=82 e c=16-3, o produto abc  igual a: 
 a) 1 
 b) 2  
 c) 22 
 d) 2-1
 e) 2-2

 7. Se A=`(9-13-3`)-1
  `(-13`)4, o valor de A :
 a) -3
 b) 3
 c) 13
 d) -13
 e) 1

 8. Se voc simplificar a expresso `[?`(0,001`)41007*
  105`]`(0,01`)3, voc vai obter: 
 a) 10-3 
 b) 10-2 
 c) 10-1 
 d) 10-9 
 e) 1 

 9. Simplificando a expresso ?ab-2`(a-1b2`)4
<p>
  `(ab-1`)2*?a2ba2
  b-1a-1b*, vamos obter: 
 a) ab 
 b) a-4b3 
 c) a-1 
 d) ab3 
 e) b-3 

 10. Escreva, na forma decimal, o valor da expresso ?38
  44*?6124*.
 a) 10,5 
 b) 11,5 
 c) 12,5 
 d) 13,2 
 e) 13,5 

 11. Sabendo que A=1y-6+
  +2`(y2`)-3+8y6, pode-se escrever: 
 a) A=10y6 
 b) A=10y-6 
 c) A=11y6 
 d) A=11y-6 
 e) n.d.a. 

<p>
 12. Quando x=7, y=13 e z=2, o valor numrico da expresso 8x3+`(yz`)-2 : 
 a) 2.880 
 b) 2.780 
 c) 2.776 
 d) 2.770 
 e) 2.760 

 13. Ao simplificar a expresso st-1+ts-1+1`(ts`)-1, obtemos: 
 a) st 
 b) 2st 
 c) `(st`)-1 
 d) 3st 
 e) 4st 
<R->

               oooooooooooo

<52>
<p>
<R+>
 Unidade 3
 
 Calculando com Radicais
 
 Os hindus e as razes quadradas e cbicas 
<R->

  Os hindus foram os primeiros a usar regras para a 
extrao de razes quadradas e cbicas. 
   curioso conhecer a terminologia que eles empregavam: 

<R+>
 o para a palavra raiz, usavam o vocbulo Mula; 
 o para raiz quadrada, usavam Varga Mula; 
 o para raiz cbica, usavam Ghana Mula. 
<R->

  A palavra *radical* vem do latim *radix* ou 
*radicis*, que significa *raiz*. 
  
  Aproveite e pense tambm no significado de:
 Radicar 
 Radicalismo 
 Radicvoro 
 Radiculite

  Pensou?
  Ento, procure no dicionrio o significado de cada uma dessas palavras.

 A origem

  Os rabes, que haviam aprendido
a radiciao com os hindus, usavam,
para designar os radicais, a palavra
*gidr*, traduo de uma palavra snscrita
que significa raiz quadrada.
  Na Grcia, os pitagricos j
conheciam a 2 desde o final do
sculo V a.C., quando relacionaram a
medida da diagonal de um quadrado
com a medida do lado desse quadrado.
  O smbolo  de radical (adotado
talvez porque lembra um *r* minsculo,
de raiz) foi introduzido por Christoff Rudolff em 
<p>
1525, em seu livro de lgebra *Die coss*.

<53> 
  J estudamos os nmeros irracionais. 

 _`[{o menino diz_`]
  "So os nmeros cuja 
representao decimal apresenta 
infinitas casas decimais e 
no peridicas."

  Exemplos de nmeros irracionais: 
<R+>
 o 2, cuja representao decimal  1,414213562... 
 o 3, cuja representao decimal  1,73205... 
 o ^p, cuja representao decimal  3,1415926... 
<R->

  Quando operamos com nmeros reais, e entre eles aparecem nmeros irracionais escritos 
na forma decimal, os resultados obtidos nem sempre so exatos. 

<p>
 _`[{o moo diz_`]
  "Veja, por exemplo, a expresso 62."

<R+>
 o Se considerarmos o nmero real 2 com aproximao de uma 
casa decimal, o valor da expresso ser 61,4=8,4. 
 o Se considerarmos o nmero real 2 com aproximao de duas 
casas decimais, o valor da expresso ser 61,41=8,46. 
 o Se considerarmos o nmero real 2 com aproximao de trs 
casas decimais, o valor da expresso ser 61,414=8,484. 
  E assim por diante... 
<R->

  Observando os exemplos dados, surge a pergunta: No seria possvel operar com nmeros 
irracionais e obter resultados exatos? 

 _`[{o moo diz_`]
  "A resposta  sim, se 
operarmos com nmeros 
irracionais escritos 
<p>
na forma de radical e no 
na forma decimal."

  O objetivo desta Unidade  estudar 
regras que nos permitam operar 
com nmeros irracionais escritos 
na forma de radical. 

               ::::::::::::::::::::::::

<54> 
 7 -- Raiz ensima de um nmero 
  real 

  Consideremos um nmero real *a* e um nmero natural *n*, com n>=2. 
  Vamos examinar o conceito de raiz ensima de um nmero real *a*, indicada pela expresso: 

 na
 n -- ndice
 a -- radicando

  Temos dois casos a examinar. 
  Acompanhe-os a seguir. 

<p>
 1 caso: O ndice *n*  par. 
 Observe:
<R+>
 o 416=2, pois 24=2222=16.
 o 6729=3, pois 36=333333=729.
<R->

 _`[{a menina diz_`]
  "A raiz quadrada de 81  igual a 9, pois 9 ao quadrado  igual a 81."

 81=9

  J vimos que no se define a raiz quadrada 
de um nmero real negativo, pois ao 
elevarmos um nmero real ao quadrado no 
obtemos um nmero real negativo. Esse fato 
se estende quando temos a raiz quarta ou a 
raiz sexta ou a raiz oitava, ..., e assim por diante, 
de um nmero real negativo. 
  Observe: 

<p>
 _`[O menino diz_`]
  "22  igual a 4, e `(-2`)2 tambm  igual a 4. No existe um nmero real que elevado ao quadrado seja igual a -4."

 -4 no se define em _r.

 o 4-81 no se define em _r. 
 o 6-1 no se define em _r. 

  Podemos dizer que: 

  Quando o nmero real *a*  positivo `(a>0`) e *n*  um nmero natural par, diferente de 
zero, dizemos que a expresso na  igual ao nmero real positivo *b* tal que bn=a. 
  Quando o nmero real *a*  negativo `(a<0`) e *n*  um nmero natural par, diferente 
de zero, a expresso na no  definida no conjunto dos nmeros reais.

<55>
   importante notar a diferena entre as expresses -9 e -9. 
<p>
<R+>
 o -9  o oposto de 9; logo, -9=-3. 
 o -9 no se define no conjunto _r. 
<R->

   importante, tambm, notar a diferena entre as expresses `(-5`)2 e -52. 
<R+>
 o `(-5`)2=+25=25=5 
 o -52=-25, que no se define no conjunto _r. 

 2 caso: O ndice *n*  mpar. 
 Observe: 
 o 38=2, pois 23=222=
  =8. 
 o 3-8=-2, pois `(-2`)3=
  =`(-2`)`(-2)`(-2`)=-8. 
 o 53.125=5, pois 55=
  =55555=3.125. 
 o 5-3.125=-5, pois `(-5`)5=
  =`(-5`)`(-5`)`(-5`)`(-5`)`(-5`)=
  =-3.125. 
<R->

<p>
  Generalizando, temos: 

  Dado um nmero real *a* e sendo *n* um nmero natural mpar, a expresso na 
 igual ao nmero real *b* tal que bn=a. 

 Observao: 
  Sendo *n* um nmero natural maior ou igual a 2, define-se: n0=0. 

 Exerccios

<R+>
 1. Das expresses a seguir, identifique no caderno: 
 a) as que so definidas no conjunto _r. 
 b) as que no so definidas no conjunto _r. 

 3-8
 532
 -1
 101
 49
 7-1
 4-16
 3-125
 8256

 2. Diga se  definida ou no no conjunto _r a raiz quadrada de: 
 a) 49 
 b) 121 
 c) -25 
 d) 64 
 e) 10 
 f) -9 

 3. Verifique se a expresso ?b2-4ac* representa 
um nmero real quando a=10, b=-1 e c=-3.
<56> 
 4. Sendo x=5 e y=4, verifique se a expresso 
?x2-y2*  definida no conjunto _r. 

 5. Todas as expresses a seguir so definidas 
no conjunto _r. Ento, calcule o valor de: 
 a) 25 
 b) `(-6`)2 
 c) 5-32 
 d) 0,01 
 e) -481 
 f) -3-8 
 g) 664 
 h) -`(-2`)2 
 i) 121 
 j) -3-125 

 6. Determine o valor das expresses numricas: 
 a) 416-3-8 
 b) 3-125-41+`(-3`)2 
 c) 532-3-27+61 
 d) 7-1-16-3-64 
 e) `(53?23-32*`)
  `(?62+82*`) 
 f) ?`(-4`)2+`(-3`)2*-
  -3?-52+17* 
 
 7. Use o sinal = ou = para comparar os nmeros 
reais *a* e *b*. 

 a=36+64 
 b=?36+64* 

 8. Determine x, sabendo que x=?-`(-2`)2-3-27*?20-
  -2*. 
 9. Sendo x um nmero real positivo e y um nmero real positivo, simplifique a expresso: 

 x2y2

 A calculadora e a raiz quadrada
<R->

  Vamos explorar a tecla  para calcular a raiz quadrada de 144 e 441. 
<R+>
 a) Basta teclar 1 4 4  e aparecer no visor 12. 
 b) Basta teclar 4 4 1  e aparecer no visor 21. 
<R->

  Observe que os nmeros 144 e 441 so formados pelos mesmos algarismos, porm escritos em ordem inversa. 
O mesmo fato curioso pode ser observado nas razes quadradas desses nmeros (12 e 21). 

<p>
 Chegou a sua vez! 

<R+>
 1. Use uma calculadora para investigar se o fato acima se repete com os seguintes pares 
de nmeros: 
 a) 169 e 961. 
 b) 12.544 e 44.521. 
 c) 12.769 e 96.721. 
 d) 14.884 e 48.841. 
<R->

  Calcular a segunda potncia 
de um nmero racional positivo 
e extrair a raiz quadrada do 
resultado so operaes inversas. 

<R+>
 2. _`[Use a calculadora_`] Em grupo, explore a tecla .

               ::::::::::::::::::::::::

<57> 
 8 -- Radical aritmtico e suas propriedades 
<R->

  Toda expresso matemtica da forma na, com a,_r+, n,_n e n>=2, recebe o nome 
de radical aritmtico. 
<L>
 _`[{a moa diz_`]
  "Quer saber como se leem estes nmeros?"

<R+>
 5 -- Raiz quadrada de cinco.
 310 -- Raiz cbica de dez.
 423 -- Raiz quarta de dois teros.
<R->

  Como j vimos, em todo radical podemos destacar: 

 na
 n -- ndice 
 a -- radicando 

  Assim: 
<R+>
 o No radical 5, o ndice  2, e o radicando  5. 
 o No radical 310, o ndice  3, e o radicando  10. 
<R->

 Propriedades 

  Os radicais aritmticos apresentam propriedades importantes no s para o estudo dos 
radicais como tambm para estudos futuros de outros temas em Matemtica. 

 1 propriedade: Observe: 
 532=2 e 32=25  
 Ento:  
 532=525=2 

 481=3 e 81=34
 Ento:
 481=434=3

<58> 
 Em geral, podemos escrever: 

  nan=a, com a,_r+, n,_n e n>1

  Veja os exemplos: 
 o 72=7
 o 3103=10 
 o 5?`(x+3`)5*=x+3 

<R+>
 2 propriedade: Considere as expresses 8108 e 102. 
  Usando a primeira propriedade, obtemos: 
<p>
<R->
 8108=10
 102=10
 Comparando, temos 8108=
  =102. 
 
 Veja o que fizemos: 8108=
  =?84*10?84*=102. 

 Em geral, podemos escrever: 

  nam=?np*a?mp*, com a,_r+, n, m, p,_n, n>1, p=0 e *p* divisor comum de *m* e *n*.

  Essa propriedade nos auxilia na simplificao de um radical do tipo nam, quando existe 
um divisor comum para os nmeros *n* e *m*. 

  Veja alguns exemplos de simplificao. 
 o 6104=
  =?62*10?42*=3102
 o 2025=
  =?205*2?55*=42
<p>
 o 1264=1226=
  =?126*2?66*=
  =221=2
 o 25`(xy`)10=
  =?255*`(xy`)?105*=
  =5`(xy`)2

<R+>
 3 propriedade: Observe as expresses 3?64* e 664. 

 Calculando: 
 3?64*=38=2
 664=2
 Comparando, temos 3?64*=
  =664. 
<59> 
 Veja o que fizemos: 3?64*=
  =3264=664.
<R->

 Em geral podemos escrever:

  m?na*=?mn*a, com a,_r+, m,_n, n,_n, m>1 e n>1.
  
  Veja os exemplos: 
 o 5?32*=?53*2=
  =152
 o ?10*=?22*10=410  
<L>
<R+>
 4 propriedade: Considere as expresses ?425* e 425.

 Calculando:
 ?425*=100=10
 425=25=10
 Comparando, temos ?425*=
  =425.
<R->

 Em geral, podemos escrever:

  n?ab*=nanb, com a,_r+, b,_r+, n,_n e n>1.

  Veja os exemplos:
<R+>
 o ?311*=311
 o 3?25*=3235 
 o 74xy=747x7y, com x, y,_r+  

 5 propriedade: Considere as expresses ?259* e 259. 

<p>
 Calculando: 
<R->
 ?259*=53
 259=53
 Comparando, temos ?259*=
  =259.  
<60> 

 Em geral, podemos escrever:

  n?ab*=nanb, com a,_r+, b,_r+*, n,_n e n>1.

  Veja os exemplos:
<R+>
 o ?37*=37
 o 5?a5*=5a55, com 
  a,_r+  

 Exerccios

 1. D o valor de cada uma das expresses: 
 a) 102 
 b) 535 
 c) 929 
 d) 373 
 e) 6`(2x`)6 
 f) 7`(25`)7 
 g) `(5a2`)2 
 h) 4`(x2y`)4 
<L>
 2. Decomponha o radicando em fatores primos 
e, em seguida, use uma das propriedades 
dos radicais aritmticos para encontrar o valor 
das expresses: 
 a) 49 
 b) 6729 
 c) 4625 
 d) 101.024 
 e) 481 
 f) 3343 

 3. Dividindo o ndice do radical e o expoente 
do radicando por um mesmo nmero, diferente 
de zero, simplifique os radicais: 
 a) 1525 
 b) 1437 
 c) 16104 
 d) 9x6 
 e) 1058 
 f) 20a12 
 g) 8y4 
 h) 21614 

 4. Determine o valor do nmero x em cada 
uma das igualdades: 
 a) 1428=x24 
 b) 15105=310x 
 c) 854=5x 
 d) 106x=56 

 5. Decomponha o radicando em fatores primos 
e, em seguida, simplifique cada um dos 
radicais: 
 a) 1032 
 b) 927 
 c) 1681 
 d) 616 
 e) 864 
 f) 121.024 

 6. Escreva na forma de um nico radical: 
 a) ?5x* 
 b) ?6*
 c) 4?3a* 
 d) 3?32* 
 e) 8?10* 
 f) ??2** 
 
 7. Escreva na forma mais simples possvel: 
 a) 4?364*
 b) ?5243*
<L>
 8. Sendo x um nmero real positivo, transforme 
em um nico radical: 
 a) ?4x*  
 b) 6?2x* 
 c) ?3?x** 
 d) 7?3x5* 

 9. Determine o nmero real x das igualdades: 
 a) x?610*=2410
 b) 5?x3*=153

 10. Escreva como um produto de radicais: 
 a) ?57* 
 b) 3ax 
 c) 7?3211* 
 d) 6?xy* 
 e) 2ab 
 f) 3x2y

<61> 
 11. Decomponha o radicando em fatores primos 
e escreva cada expresso na forma de um 
produto de radicais: 
<p>
 a) 10 
 b) 621 
 c) 935 
 d) 730 
 e) 1015 
 f) 3154 

 12. Transforme em um nico radical as multiplicaes: 
 a) 35 
 b) 3237 
 c) 63613 
 d) 257

 13. Sendo x e y dois nmeros reais positivos, 
transforme em um nico radical cada um dos 
produtos, simplificando o radical obtido: 
 a) 12x512x 
 b) 20y320y 
 c) 15x4y215xy3 
 d) 14y314y314y 

 14. Transforme em um quociente de radicais 
cada uma das expresses: 
<p>
 a) ?116* 
 b) 3?75*
 c) 8?311* 
 d) ?132* 
 e) 6?213* 
 f) 7?45*

 15. Os nmeros *a* e *b* so nmeros reais positivos. 
Nessas condies, simplifique os radicais 
6a3 e 12b6, calculando em seguida a expresso 
que representa o produto dos radicais obtidos.

 Raiz quadrada de nmeros 
  palndromos e a calculadora 
<R->

  Vamos explorar a tecla  para investigar a raiz quadrada de alguns nmeros palndromos. 

  Lembre-se: um nmero palndromo  aquele que no se altera quando lido da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita. 

  Para isso, vamos calcular 121 e 12.321: 
<R+>
 a) Tecle 1 2 1  e aparecer no visor 11. 
 b) Tecle 1 2 3 2 1  e aparecer no visor 111. 

 Chegou a sua vez! 

 1. Investigue, com o auxlio de uma calculadora, o que acontece com a raiz quadrada 
do nmero palndromo 1.234.321. 

 2. O que voc acha que vai acontecer com as razes quadradas dos nmeros palndromos a 
seguir? 
 a) 123.454.321 
 b) 12.345.654.321 

               ::::::::::::::::::::::::

<62> 
<p>
 9 -- Simplificando radicais: extrao de fatores do radicando 
<R->

  Observe as seguintes expresses:

<R+>
 o ?527*
 Transformamos o radical dado em um produto de radicais.
 Aplicamos a propriedade nan=a.

 ?527*=527=
  =57=57

 o 3?23373*
 Transformamos o radical dado em um produto de radicais.

 3?23373*=32
  333373=32
  37=2132
<R->
  
  Assim:

  Se um ou mais fatores do radicando tm o expoente igual ao ndice 
do radical, esses fatores podem ser extrados do radicando sem o 
expoente e escritos como fatores externos. 

  Em alguns casos, o expoente do radicando  maior que o ndice do radical. Procura-se, 
ento, fazer transformaes convenientes no radicando, como voc pode ver nos exemplos 
a seguir. 
<R+>
 o 103=?10210*=
  =10210=1010 
 o 327=3?23232*=
  =32332332=
  =2232=432 
 o ?2354*=?222
  5252*=222
  5252=2552=
  =502 
<R->

  H situaes, porm, em que temos necessidade de fazer a fatorao completa do radicando 
antes de realizar a extrao dos fatores. 
  Acompanhe algumas dessas situaes: 

<p>
<R+>
 1- Simplificar a expresso 75. 
  Fatorando de forma completa o radicando 75, vamos encontrar 352. 
  Da, temos: 
 75=?352*=352=
  =53

<63> 
 2- Simplificar a expresso 3162. 
  A fatorao completa do radicando 162 nos d 234. 
  Da, temos: 
 3162=3?234*=
  =3?2333*=32
  33333=33?23*=
  =336 

 3- Os nmeros x e y so nmeros reais positivos. Nessas condies, vamos simplificar a 
expresso 2550x3y. 
  A fatorao completa do radicando 50 nos d 252. 
  Da, temos: 
<p>
 2550x3y=25?252
  x2xy*=255x?2
  xy*=2x2xy
 
 4- Simplificar a expresso ?2a2-4ab+2b2*, com a-b>0, fatorando o radicando. 
 ?2a2-4ab+2b2*=
  =?2`(a2-2ab+b2`)*=
  =?2`(a-b`)2*=`(a-b`)2 
<R->

  Considere, agora, os exemplos a seguir.

<R+>
 1- Usando a simplificao de radicais, vamos determinar a raiz quadrada exata do nmero 2.304.
  A fatorao completa do nmero 2.304 d 2832. 
  Da, temos: 
 2.304=?2832*=?22
  22222232*=22
  223=48 
 Logo, a raiz quadrada exata de 2.304  48. 

<p>
 2- Sendo *l* a medida do lado de um quadrado, sua rea  dada por A=l2. Calcular a medida *l*. 
do lado de um terreno quadrado que tem 700 m2 de rea, considerando 7=2,65. 
  Temos: 
 A=l2 :> l2=A :> ll=A :> l=A
 Ento, *l*  o nmero positivo que elevado ao quadrado d A, ou seja, l=A. 
  No caso, temos: 
 l=700=?22527*=2
  57=107=102,65=
  =26,5
 O lado desse terreno mede 
  26,5 m.

<64> 
 Exerccios 

 1. Simplifique os radicais, retirando fatores do radicando. 
 a) ?272* 
 b) 5?3511* 
 c) 3?23353* 
 d) 103  
 e) 27 
 f) 3?2354* 

 2. Os nmeros x e y so nmeros reais positivos. 
Simplifique, ento, os radicais, retirando 
fatores do radicando. 
 a) x5 
 b) 3y4 
 c) x9 
 d) 5y12 
 e) x2y3 
 f) 5x5y7 
 g) 9y10 
 h) 10x13 

 3. Fatore o nmero que aparece no radicando. 
Em seguida, retirando fatores do radicando, 
simplifique os radicais. 
 a) 75 
 b) 700 
 c) 3250 
 d) 5192  
 e) 4176 
 f) 800 
 g) 1.800 
 h) 3375 
 i) 2.700 
 j) 6640  

 4. Se x=5.184, qual  o valor de x? 

 5. Considerando 2=1,41; 3=1,73; 5=2,23 e 6=2,44, simplifique cada um 
dos radicais e determine, na forma decimal, o valor de: 
 a) 50 
 b) 27 
 c) 80 
 d) 150 
 e) 200 
 f) 500 
 g) 294 
 h) 675 

 6. Considere que *a* e *b* so nmeros reais positivos. 
Nessas condies, simplifique os radicais: 
 a) 9a3 
 b) b20b2 
 c) ab327a4 
 d) aba2b5 
 e) 12176a4
 g) 1ab12a4b3 
 f) 1a250a7 
 h) 14a2b48a2b4

 7. Sabe-se que *a*  a raiz quadrada exata de 
4.096, *b*  a raiz quarta exata de 1.296 e *c*  a raiz 
cbica exata de 3.375. Qual  o valor da expresso 
a+b+c? 
 8. Simplificando os radicais, calcule o valor 
da expresso 6729+51.024-3125. 
 9. Se A=31.728 e B=664, qual  o valor da 
razo AB? 
 10. Considerando 3=1,73 e 10=3,16, qual 
 o valor, na forma decimal, da expresso 1.000-27? 

 11. Simplificando o radical e, em seguida, colocando 
o fator comum em evidncia, fatore as expresses. 
<p>
 a) 5+50 
 b) 3-18 
 c) 10-8 
 d) 10+200 
 
 12. Qual valor voc vai encontrar ao simplificar 
a expresso 61.728664? 
 13. Um terreno quadrado tem 9.800 m2 de 
rea. Sendo *l* a medida do lado desse terreno e 
considerando 2=1,41, calcule o valor de *l*. 
 14. Considere a expresso E=?ab+c*. Qual 
 o valor de E quando a=40, b=25 e c=200? 
 15. Qual  o nmero que se obtm simplificando 
a expresso ?32`(0,0004`)25.000*, considerando 
5=2,23? 

 16. Transformando em um s radical, determine 
o valor das expresses a seguir. 
 a) ?3?4.096** 
 b) ?10.000*
<R->

<65> 
 Brasil Real 

 wr Geografia

  O Aqufero Guarani  um imenso manancial de gua doce 
subterrnea. Est localizado na regio Centro-leste da Amrica 
do Sul, entre 12 e 35 de latitude sul e entre 47 e 65 
de longitude oeste. Ocupa uma rea de 1,2 milho de quilmetros 
quadrados, estendendo-se 70% pelo Brasil, 19% pela 
Argentina, 6% pelo Paraguai e 5% pelo Uruguai. 

<R+>
 Fonte: *Veja*. So Paulo: Abril, 30 maio 2007. 
<R->

  Aqufero  uma formao geolgica do subsolo, constituda por rochas 
permeveis, que armazena gua em seus poros ou fraturas. 

<p>
<R+>
 _`[{mapa: "Localizao do 
  Aqufero Guarani" no adaptado_`]

 Fonte: ~,www.oaquiferoguarani.~
  com.br~, Acesso em: 24 mar. 2009. 

 1. Determine quantos quilmetros quadrados do Aqufero Guarani estendem-se pelo Brasil, 
aproximadamente. 
 2. Construa um grfico de setores mostrando a porcentagem de cada pas da Amrica do Sul 
que  ocupada por esse aqufero. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 3. O Aqufero Guarani tem *45* quatrilhes de litros de gua, que correspondem a *22.500* vezes 
o volume de gua da Baa de Guanabara. Nos trechos mais prximos da superfcie, fica a 
*50* metros de profundidade; nos mais distantes, fica a *1.800* metros de profundidade. 
 a) Escreva a quantidade de litros de gua do Aqufero Guarani em notao cientfica. 
 b) Um dos nmeros apresentados nesta questo  um quadrado perfeito. Determine sua raiz quadrada. 
 c) Determine a raiz quadrada dos dois menores nmeros citados, expressando na forma de radical mais simples. 

               ::::::::::::::::::::::::

<66> 
 10 -- Introduzindo um fator externo no radicando 
<R->

  Acompanhe e analise os exemplos. 
<R+>
 o Se ?223*=23, ento 23=?223*. 
 o Se 3?573*=735, ento 735=3?573*.
<p>
 o Se 564=526=
  =5?252*=252, ento 252=5?252*=
  =526=564.
<R->

  De modo geral, temos que: 

  Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando 
para isso escrev-lo com um expoente igual ao ndice do radical. 

  Acompanhe mais estes exemplos: 

<R+>
 1- Introduzir no radicando o fator externo da expresso 53. 
 53=?523*=?253*=
  =75 

 2- Transformar em um s radical a expresso 5?x?3x**, sendo x>=0. 
  Neste problema, devemos inicialmente introduzir o fator x no radical mais interno: 
<p>
 5?x?3x**=5?3?x3x**=
  =5?3x4*=15x4

 Exerccios 

 1. Introduza o fator externo no radicando das expresses seguintes. 
 a) 92 
 b) 27 
 c) 105 
 d) 532 
 e) 252 
 f) 8a 
 g) 2aa 
 h) x10x3 
 i) 6b32b  

 2. Transforme cada expresso em um s radical, sabendo que x e y so dois nmeros reais positivos. 
 a) 6?x?3x2** 
 b) ?x?5?x2y3***

<p>
 3. Escreva a expresso 3?ab??ab*** na forma de um nico radical. Se possvel, simplifique a expresso. 
 4. Como voc pode representar a expresso ?3?3?3*** na forma de um nico radical? 
 5. Qual  a forma mais simples de escrever a expresso ?x3y??yx***?

               ::::::::::::::::::::::::

<67> 
 11 -- Adicionando algebricamente dois ou mais radicais
<R->

  Consideremos a expresso algbrica inteira 9x+3x-15x+
 +8x-x. Como todos os 
termos dessa expresso so semelhantes, podemos reduzi-la a um s termo: 

 9x+3x-15x+8x-x=`(9+3-15+
  +8-1`)x=4x 

<p>
  Dois ou mais radicais so semelhantes quando tm o mesmo ndice e o mesmo radicando. Observe: 
<R+>
 o 10 e -310 so radicais semelhantes. 
 o 32, -1032 e 732 so radicais semelhantes. 
<R->

  Se uma expresso contiver radicais semelhantes, procedemos da mesma forma, ou 
seja, podemos reduzi-la a um s termo. 
  Veja os exemplos: 

<R+>
 1- Escrever na forma mais simples possvel a expresso 103+53-113+23. 
<R->

 _`[{o moo diz_`]
  "D para calcular 
mentalmente. Basta 
encontrar o resultado 
de 10+5-11+2." 

<R+>
 103+53-113+23=
  =`(10+5-11+2`)3=63

 Logo, 63  a forma mais simples da expresso dada. 
<L>
 2- Qual  o valor da expresso 72-5-32+2? 
 72-52-32+2=`(7-5-
  -3+1`)2=02=0 
 Logo, o valor procurado  0. 

<68> 
 3- Simplificar a expresso 65-27-55+37. 
 65-27-55+37=
  =65-55-27+37=
  =15+17=5+7 
 Logo, 5+7  a forma mais simples de escrever a expresso dada. 
<R->

 _`[{o moo diz_`]
  "Veja por que expresses 
como 5+7 no podem ser 
mais simplificadas."
 
<R+>
 5+7=12 :> 2,23+2,64=
  =3,46
 2,23 -- forma decimal aproximada de 5
 2,64 -- forma decimal aproximada de 7
<p>
 3,46 -- forma decimal aproximada de 12
<R->

  O mesmo ocorre com expresses como: 
<R+> 
 o 5-2=3
 5 -- 2,23
 2 -- 1,41
 3 -- 1,73

 2,23-1,41=1,73

 o 3+3=43 
 3 -- 3
 3 -- 1,73
 43 -- 6,92

 3+1,73=6,92
<R->

  H expresses que exigem a simplificao de seus termos antes de se realizar a adio 
algbrica. 
  Veja alguns exemplos. 

<R+>
 1- Calcular o valor de 50+
  +18. 
  J sabemos que 50+18=
  =68. 
  Vamos, ento, simplificar cada radical com a extrao de fatores do radicando: 
 50+18=?252*+?2
  32*=52+32=82 
 Logo, o valor procurado  82. 

<69> 
 2- Escrever na forma mais simples possvel a expresso 3125x4y-327x4y-
  -38x4y. 
  Vamos, inicialmente, simplificar cada radical: 
 3125x4y-327x4y+
  +38x4y= 
 =3?53x3xy*-
  -3?33x3xy*+
  +3?23x3xy*= 
 =5x3xy-3x3xy+2x3xy=
  =4x3xy 
 Logo, a forma mais simples de escrever a expresso dada  4x3xy. 

<p>
 3- Simplificar a expresso 200+500+8-45. 
 200+500+8-45= 
 =?22252*+?22
  525*+?222*-
  -325*= 
 =102+105+22-35= 
 =102+22+105-35=
  =122+75 
 Logo, a forma mais simples da expresso dada  122+75. 

 4- Simplificar a frao ?12+75*2147.
 ?12+75*2147=
  =??223*+?352**
  2?372*=?23+53*
  143=73143=12

 Exerccios

 1. Copie no caderno apenas os itens com igualdades verdadeiras. 
 a) 7+7=27 
 b) 6+5=11 
 c) 1+2=3 
 d) 10+10+10=310 
<L>
 2. No caderno, escreva na forma mais simples 
possvel as expresses seguintes. 
 a) 910-510 
 b) 25+75-165 
 c) 6+6+6 
 d) 632-1032 
 e) 2x+2x+2x+2x 
 f) 43+743+1143+
  +243 
 g) 5a10+7a10-9a10 
 h) 2+76+26-1 
 i) 27+2+7-3-7 
 j) 25+82-62+85-
  -22

<70>
 3. Reduza cada expresso  sua forma mais simples. 
 a) 12+75-93+27+48 
 b) 4125+345-305 
 c) 54+6-150+224 

 4. Observe o tringulo seguinte, em que aparecem 
as medidas dos lados, em unidades de comprimento. 
Qual  o permetro desse tringulo? 

<F->
        -
        ^
28     ^ 112 
            ^   
              ^
   -------------u
      175
<F+>

 5. Um nmero A  tal que: 

 A=18+350+98 

 Fazendo 2=1,41, qual  a forma decimal do nmero A? 

 6. Calcule: 
 a) 16x+9x-36x 
 b) 8a3+72a3-
  -18a3 
 c) 3xx2y-2x4y+6x2y 
 d) 3aab3-7ba3b+
  +ab4ab 
 
 7. Qual  o valor de x na expresso a seguir? 

 x=1448+12243-
  -1612
<L> 
 8. Qual  o permetro de uma regio triangular 
cujos lados medem 4486 cm, 496 cm e 5216 cm?
 9. Qual  a forma simplificada da frao a seguir? 

 ?28+175*63

 10. Veja a regio retangular a seguir, em que 
as medidas dos lados so expressas em cm. 
Qual  o permetro dessa regio retangular? 

<F->
          250
      pccccccccccc
      l           _
40 l           _
      l           _
      v-----------#
<F+>

 11. Um nmero real x  expresso por 
3250-316+354-
  -32. Qual  o nmero x? 
<p>
 12. Qual  a forma mais simples de escrever 
a frao a seguir? 

 ?50-18*200

 13. Simplificando o numerador, escreva na 
forma irredutvel a expresso ?320+80-
  -245*8. 
 14. Se x=2 e y=98-32-
  -8, qual  o valor de x+y? 

 15. So dados os nmeros reais *a*, *b* e *c* tais 
que a=1-27, b=1+75 e c=2-108. 
Determine o valor de: 
 a) a+b+c 
 b) a-b-c 

 16. Fazendo 5=2,23 e 2=
  =1,41, qual  o 
valor do nmero real x na forma decimal, sabendo 
que x=5.000+500+50+
  +5? 
 17. Sabe-se que A=243-162 e B=300-50. Qual  o valor de A+B? 
 18. Considerando 3=1,7 e 2=1,4, d, na forma decimal, o valor da expresso 43-718+548+200. 

               ::::::::::::::::::::::::

<71> 
 12 -- Multiplicando expresses 
com radicais de mesmo ndice
<R->

  Recordando as propriedades dos radicais aritmticos, uma delas nos mostra que: 

<R+>
 n?ab*=nanb, com a>=0, b>=0, n,_n e n>1. 
<R->

  Usando a propriedade simtrica das igualdades, podemos escrever: 

<R+>
 nanb=n?ab*, com a>=0, b>=0, n,_n e n>1. 
<R->

<p>
  Dessa maneira, fazemos: 

<R+>
 o 27=?27*=14 
 o 3536=3?56*=
  =330 
 o 4x4xy=4?xxy*=
  =4x2y, com x>=0, y>=0 
 o 510=?510*=50=
  =?252*=52 
 o 2652=10?62*=
  =1012=10?223*=
  =1023=203 
 o 5a3b5a2b=
  =5?a3ba2b*=
  =5a5b2=a5b2
<R->
 
  Assim, temos que: 

  O produto de dois ou mais radicais de mesmo ndice  um radical com o mesmo 
ndice, cujo radicando  igual ao produto dos radicandos desses radicais. 

<72> 
<p>
<R+>
 Exerccios 

 1. Efetue as multiplicaes: 
 a) 57 
 b) 52a57a 
 c) 3293 
 d) 3xy3xy 

 2. Escreva as multiplicaes na forma mais simples: 
 a) 63 
 b) 2821 
 c) 1020 
 d) 221527 

 3. No retngulo seguinte, as medidas indicadas 
so dadas em centmetros. 

<F->
           92
       pccccccccccc
       l           _
52 l           _
       l           _
       v-----------#
<F+>

<p>
 Determine:
 a) o permetro do retngulo. 
 b) a rea do retngulo. 
 
 4. Qual  a rea de um quadrado cujo lado mede 95 unidades de comprimento? 
<R->

  Ao multiplicarmos a medida 
do lado de um quadrado por 
ela mesma, obtemos a rea 
do quadrado. 

<R+>
 5. Calcule, na forma decimal, a rea do tringulo da figura 
  _`[no adaptada_`], adotando 3=1,73. 

 _`[{base: 56; altura: 32 cm_`]
<R->

  A rea de um tringulo 
 dada pela metade do 
produto da medida da base 
pela medida da altura. 

<R+>
 6. A rea de um trapzio  dada pela frmula A=?`(B+b`)h*2, em que B representa a medida 
da base maior, *b* representa a medida da base menor, e *h* representa a medida da altura. 
Calcule a rea do trapzio a seguir. 

<F->
        25
     ccccccccccc
                _
                _
                _ 5
                _
----------------#
      35
<F+>

 7. Um bloco tem 12 cm de comprimento, 6 cm de largura e 3 cm de altura. 
Fazendo 6=2,45, calcule o volume desse bloco. 
<R->

  O volume de um bloco retangular 
(paraleleppedo retngulo)
 obtido multiplicando entre
si as dimenses do bloco. 

<R+>
 8. Considerando que todas as letras que representam os radicandos dos radicais a seguir so 
nmeros reais positivos, efetue as multiplicaes: 
 a) 3x23x2 
 b) 6a56a36a5 
 c) 4st34t 
 d) 5a4b5ab6  
 e) ?ax*?abx*
 f) 8x3y782x5y 
 g) ?2an*?2x3*
  ?2axn* 

<73>
 Utilizando a propriedade 
  distributiva na multiplicao de radicais 
<R->

 _`[A moa diz_`]
  "Em alguns casos, 
temos de usar a tcnica 
da multiplicao de 
polinmios." 

  Observe os seguintes exemplos: 
<R+>
 o 2a`(a-5b`)=2aa-2a5b=
  =2a2-10ab 
 o `(3x+1`)`(2x-5`)=3x2x-3x
  5+12x-15=
  =6x2-15x+2x-5=
  =6x2-13x-5 
<R->
<L>
  Veja as situaes a seguir, nas quais usamos essa tcnica: 

<R+>
 1- Calcular 5`(32-5`). 
 5`(32-5`)=532-
  -55= 
 =310-52=310-5 

 2- Calcular `(3+22`)
  `(3-52`). 
 `(3+22`)`(3-52`)=
  =33-352+22
  3-2252= 
 =32-56+26-1022= 
 =3-56+26-20= 
 =3-20-56+26=-17-36 

 3- Calcular `(2-7`)`(5+7`). 
 `(2-7`)`(5+7`)=25+27-
  -75-77= 
 =10+27-57-72= 
 =10+27-57-7= 
 =10-7+27-57=3-37

<74> 
<p>
 Exerccios 

 1. No caderno, efetue as multiplicaes: 
 a) 2`(6-3`) 
 b) 7`(7+2`) 
 c) 10`(52-310`) 
 d) 5`(7+5`) 
 e) 15`(3+5`) 
 f) 8`(2-6`) 

 2. Efetue as multiplicaes: 
 a) `(2-6`)`(2+26`) 
 b) `(5-7`)`(5+7`) 
 c) `(35-2`)`(5+3`) 
 d) `(4+13`)`(4-13`) 

 3. Qual  o valor do nmero real A? 

 A=6`(2+1`)-2`(3-6`) 

 4. Encontre o valor do nmero real x, tal que x=`(3-23`)
  `(1+3`). 

 5. Observe a regio retangular da figura a seguir. 
<L>
<F->
 `(5+5`) cm
pcccccccccccccc
l              _
l              _ `(6-5`) cm
l              _
v--------------#
<F+>

 Agora, determine: 
 a) o permetro do retngulo. 
 b) a rea do retngulo. 
 
 6. Usando a multiplicao, calcule: 
 a) `(1+5`)2
 b) `(2-3`)2
 c) `(5+3`)2 
 d) `(7-2`)2 

 7. Qual  o resultado da multiplicao a seguir?

 ?7+5*?7-5*
 
 8. Qual  o nmero real x expresso por ?10+10*
  ?10-10*? 
<p>
 9. A expresso `(-5+27`)`(4+
  +7`)-37 pode ser representada por um nmero real inteiro. Qual  esse nmero? 
 10. Considerando 2=1,41, qual  o nmero decimal que representa o resultado da multiplicao `(42+3`)
  `(2-1`)? 
 11. Qual  a forma mais simples de se escrever a frao a seguir? 

 ?`(4+2`)`(4-2`)*
  ?`(3+3`)`(3-3`)*
 
 12. A propriedade fundamental das propores 
nos diz que o "produto dos extremos  igual 
ao produto dos meios". Usando essa propriedade, 
determine o valor de x nas propores: 
 a) x6=242
 b) x?13+10*=?13-
  -10*9 

<p>
 13. O volume de um bloco retangular  calculado multiplicando-se as dimenses do bloco. 
Um bloco retangular tem 9 cm de comprimento, `(6-2`) cm de largura e `(6+2`) cm de 
altura. Qual  o volume desse bloco, em cm3? 

               ::::::::::::::::::::::::

<75> 
 13 -- Dividindo expresses com radicais de mesmo ndice 
<R->

  Por uma das propriedades dos radicais, sabemos que: 

<R+>
 n?ab*=nanb, com a>=0, b>0, n,_n e n>1.
<R->

  E pela propriedade simtrica das igualdades podemos escrever: 

<R+>
 Se n?ab*=nanb, ento nanb=n?ab*, com 
  a>=0, b>0, n,_n e n>1. 
<R->

  Agora, observe estes exemplos: 
<R+>
 o 62=?62*=3
 o 405=?405*=8=
  =22
 o 39632=3?962*=
  =348=236
<R->

  Assim, temos que:

  O quociente de dois radicais de mesmo ndice  um radical com o mesmo ndice, cujo 
radicando  igual ao quociente dos radicandos desses radicais. 

 Exerccios

<R+>
 1. Efetue as divises: 
 a) 153 
 b) 42147 
 c) 1623 
 d) 2406 
 e) 905 
 f) 5x95x3 
 g) 3a83a3 
 h) 4a5b24ab 

<p>
 2. Qual  a forma mais simples de escrever a expresso ?820*2? 

 3. Voc j sabe que nanb=
  =n?ab*.
  Simplifique, ento, as expresses: 
 a) 405 
 b) 543 
 c) 4863 
 d) 1503
 e) 7x117x3
 f) 972x63x3 
 g) 225a35a 
 h) 5192b753b2

 4. Simplifique a expresso `(?2+3*?2+6*`)
  `(?6-2*3`). 

               ::::::::::::::::::::::::

<76> 
<p>
 14 -- Multiplicando e dividindo expresses com radicais de 
  ndices diferentes 

 Reduo de dois ou mais radicais ao mesmo ndice 
<R->

  Acompanhe e analise as situaes a seguir. 

<R+>
 1- Vamos considerar os radicais 372 e 463. 
  Podemos reduzir esses radicais a um mesmo ndice, que deve ser mltiplo comum dos 
ndices 3 e 4. Assim, temos: 12, 24, 36, 48, 60, ... Para facilitar nosso trabalho, escolhemos 
o menor deles: o 12. 

 Agora, observe: 
 372 
 34=12
 24=8
 372=1278 

<p>
 463 
 43=12
 33=9
 463=1269

 Ento: 
<R+>
 372, 463 -- radicais com ndices diferentes  
 1278, 1269 -- radicais equivalentes (com o mesmo ndice) 

 2- Consideremos, agora, os radicais 8a5 e 6a3, com a>=0. 
  Vamos reduzir esses radicais a um mesmo ndice, que dever ser mltiplo comum de 
8 e 6. Assim, temos: 24, 48, 72, 96, 120, ... Por facilidade, escolhemos o menor deles: o 24. 

 8a5
 83=24
 53=15
 8a5=24a15

 6a3
 64=24
 34=12 
 6a3=24a12

 Ento: 
 8a5, 6a3 -- radicais com ndices diferentes
 24a15, 24a12 -- radicais equivalente (com o memso ndice)

<77> 
 Exerccios 

 1. Reduza ao mesmo ndice cada par de radicais a seguir. 
 a) 32, 3 
 b) 7a3, 3b2 
 c) 532, 433 
 d) 1425, 2129 
 e) 1032, 62, 1524 
 f) 534, 106, 2 

 2. Reduza cada par de radicais ao mesmo ndice 
e, em seguida, compare os valores obtidos 
usando o sinal > ou <. 
<p>
 a) 102 e 1522. 
 b) 12310 e 18311. 
 c) 625 e 927. 
 d) 823 e 623.

 Multiplicao e diviso de 
  radicais com ndices diferentes 
<R->

  A reduo de dois ou mais radicais ao mesmo ndice nos possibilita efetuar a multiplicao 
e a diviso de radicais que inicialmente apresentam ndices diferentes. 

  Acompanhe e analise os exemplos a seguir. 

<R+>
 1- Vamos calcular 42
  1023.  
  Como os radicais tm ndices diferentes, precisamos, primeiro, reduzi-los ao mesmo 
ndice para, a seguir, efetuar a multiplicao. 
<p>
 421023=
  =20252026=
  =20?2526*=20211 

 2- Calcular 10310. 
  Inicialmente, reduzimos os dois radicais ao mesmo ndice e, em seguida, efetuamos 
a diviso. Observe: 
 10310=6103
  6102=6?103102*=
  =610 

 Exerccios

 1. No caderno, efetue as operaes indicadas 
simplificando o resultado, quando possvel. 
 a) 310510 
 b) 757 
 c) 433
 d) 22027 
 e) 6521053 
 f) 675372 
 g) 423524
  1027
 h) 8651262 

 2. Sabendo que *a* e *b* so dois nmeros reais 
positivos, escreva a expresso algbrica que representa 
o resultado de: 
 a) 8a5b36ab2 
 b) 9a7b66a3b2 
 c) ?ab*3?ba*
 d) 4a5b312a10b9 
 e) 6`(ab`)54ab3 

               ::::::::::::::::::::::::

<78> 
 15 -- Potenciao de uma 
  expresso com radicais 
<R->

  Usando a definio de potncia e considerando, para o ltimo caso, `(x+y`)>0, vamos 
calcular: 
<R+>
 o `(10`)2=1010
  102=10 
 o `(7`)3=777=
  =73=?727*=77 
 o `(52`)3=5252
  52=523 
 o `(?x+y*`)2=?`(x+y`)*
  ?`(x+y`)*=?`(x+y`)2*=x+y 
<R->

  Assim, podemos escrever: 

<R+>
 `(na`)m=nam, com a,_r+, m,_z, n,_n e n>1. 
<R->

  Veja mais estes exemplos: 
<R+>
 o `(3`)5=35=?32
  323*=93
 o `(310`)4=3104=
  =3?10310*=10310

 Recordando os produtos notveis 
<R->

 _`[{a menina diz_`]
  "Voc se lembra dos produtos notveis que j estudamos?"

<R+>
 o Quadrado da soma de dois termos: 
 `(x+y`)2=x2+2xy+y2 

 o Quadrado da diferena de dois termos: 
 `(x-y`)2=x2-2xy+y2 

 o Produto da soma pela diferena de dois termos: 
 `(x+y`)`(x-y`)=x2-y2 
<R->
<L>
  Nas expresses que envolvem radicais, tambm podemos aplicar as regras que regem 
os produtos notveis. Observe os exemplos: 

<R+>
 1- `(5+3`)2=`(5`)2+2
  53+`(3`)2=
 =5+215+3=
 =5+3+215=8+215

<79> 
 2- `(7-10`)2=`(7`)2-
  -2710+`(10`)2=
 =49-1410+10=
 =49+10-1410=
 =59-1410

 3- `(5+3`)`(5-3`)=
  =`(5`)2-`(3`)2=
 =5-3=2
 
 Exerccios 

 1. Calcule: 
 a) `(17`)2 
 b) `(32`)4 
 c) `(62`)2 
 d) `(1210`)2

 2. Sabendo que *a* e *b* so nmeros reais positivos, 
escreva a expresso algbrica mais simples 
que representa cada expresso. 
 a) `(ab`)2 
 b) `(b3a`)4 
 c) `(ab3b`)4 
 d) `(abab`)2

 3. Determine o valor da expresso 48-`(2`)3. 
 4. Sendo x=23 e y=32, calcule o valor de x2y2. 
 5. Sabendo que a=10 e b=25, calcule o valor de a2-b2+10. 

 6. Aplicando a regra dos produtos notveis, calcule: 
 a) `(3+2`)2 
 b) `(1-7`)2
 c) `(42+5`)`(42-5`) 
 d) `(2+10`)2 
 e) `(11+7`)`(11-7`) 
 f) `(33+2`)2 
 g) `(7+19`)`(7-19`) 
 h) `(-35+1`)`(-35-1`) 
 i) `(27+35`)2 
<L>
 7. Calcule a rea dos seguintes quadrados: 
<F->
a) 
pcccccc
l      _ 
l      _ 3+3
l      _
v------#

b) 
pcccccc
l      _
l      _ 5-7
l      _
v------#
<F+>

 8. Sabe-se que a=5+3. Qual  a expresso que representa a2? 

 9. Quando x=3+2, qual ser o valor numrico de cada expresso a seguir? 
 a) x2-62 
 b) x2-4x-4 

<p>
 10. Dada a igualdade x2-4x+
  +2=0, verifique se ela  verdadeira para x=2+2. 
 11. Sabendo que a=8+6 e b=8-6, calcule o valor de a2+b2. 
 12. Determine o nmero real inteiro que representa a expresso a seguir. 

 `(21+13`)`(21-13`)-
  -`(10+7`)`(10-7`)

<80> 
 13. Escreva na forma mais simples possvel a expresso `(3+25`)2-720-18. 
 14. Qual  a forma mais simples de escrever a expresso a seguir? 

 `(7+5`)2-`(7+5`)`(7-
  -5`) 

 15. Simplifique a frao ?`(6+2`)2*?`(7+3`)
  `(7-3`)*. 
<R->

<p>
 Resoluo de equaes irracionais 

  Denomina-se equao irracional toda equao que apresenta a incgnita no radicando. 
  Assim, so exemplos de equaes irracionais: 
 o 2x=10 
 o ?x+1*=6 
 o ?2x-1*=?x+7*
 
  A resoluo de uma equao irracional  feita elevando-se os dois membros da equao 
a uma potncia conveniente, a fim de transform-la numa equao racional, que j sabemos 
resolver. 

 _`[O moo diz_`]
  "Inicialmente 
precisamos elevar os 
dois membros da equao 
ao quadrado."

 `(2x`)2=62 

<p>
  Veja alguns exemplos: 

<R+>
 1- Resolver a equao 2x=6, sendo x real e x>=0. 
<R->
 `(2x`)2=62 
 2x=36 
 x=362=18 
<R+> 
 Como x=18, e 18>=0, o valor encontrado  vlido. 
 Logo: S=~l18_,. 

 2- Vamos resolver a equao ?7x+18*=9, com x real e 7x+18>=0. 
  Elevando os dois membros da equao ao quadrado, temos: 
 `(?7x+18*`)2=(9)2 
 7x+18=81 
 7x=81-18 
 7x=63 
 x=637=9 
 Como 79+18>=0, o valor encontrado  vlido. 
 Logo: S=~l9_,. 

<81> 
 3- Vamos resolver a equao 3?3x+1*=3?x+7*. 
<R->

<p>
 _`[O moo diz_`]
  "Neste caso, 
precisamos elevar 
os dois membros da 
equao ao cubo."

 `(3?3x+1*`)3=`(3?x+7*`)3 

 3?`(3x+1`)3*=3?`(x+7`)3* 
 3x+1=x+7 
 3x=x+7-1 
 3x=x+6 
 3x-x=6 
 2x=6 
 x=62=3 
 Logo: S=~l3_,. 

 Exerccios 

<R+>
 1. Resolva as equaes, no se esquecendo de 
fazer a verificao dos valores encontrados. 
 a) 3x=6 
 b) ?3x-2*=5 
 c) ?2x+1*=-3 
 d) 2x=4 
 e) 3x=12 
 f) ?x2+3x-9*=x 
 g) ?2x+5*=?x+8* 
 h) 32x=6 

 2. Determine o conjunto soluo da equao ?x2+2*=x+1. 
 3. Qual  o valor real de x na equao a seguir? 

 ?5x+2*=?-6+9x* 

 4. Determine o nmero x para que se tenha ?x-5*=3??x-5**, com x=5. 

               ::::::::::::::::::::::::

 16 -- Racionalizando 
  denominadores de uma expresso fracionria 
<R->

  Consideremos, inicialmente, a expresso 13. 
  Adotando 3=1,732 (aproximao com trs casas 
decimais), vamos encontrar a forma decimal aproximada 
da expresso 13: 

 13^=11,732^=0,577 
<L>
 10.0001.732=0,577 
 resto -- 636

<82> 
  Voltemos a considerar a expresso 13. 
  Usando a propriedade da equivalncia de fraes, multiplicamos o numerador e o denominador 
dessa expresso pelo mesmo nmero `(3`) e determinamos, em seguida, a forma 
decimal aproximada do resultado: 

 13=?13*?33*=
  =332=33^=0,577

 1,7323=0,577
 resto -- 1

  Como voc pde observar, as expresses 13 e 33 so equivalentes. Obtivemos o 
mesmo resultado na forma decimal aproximada: 0,577. Voc deve ter notado tambm que 
foi muito mais simples dividir 3 por 3 do que dividir 1 por 3. 
  Por esse motivo, transformamos a expresso 13 em 33, na qual o denominador  
um nmero racional. 

  A uma transformao desse tipo damos o nome de 
racionalizao de denominadores. 

  Essa racionalizao consiste em transformar uma expresso com denominador contendo 
nmeros irracionais em uma expresso equivalente com denominador contendo apenas nmeros 
racionais. Vejamos, ento, mais alguns casos de racionalizao de denominadores. 

<R+>
 1- Racionalizar o denominador da expresso 17. 
  Se multiplicarmos o denominador 7 pelo nmero 7, teremos: 
 77=72=7 
 Por esse motivo, dizemos que 7  o fator racionalizante da expresso 17. 
<83> 
  Conhecido o fator racionalizante, multiplicamos o numerador e o denominador da 
expresso dada por esse fator: 
 17=?17*?77*=
  =772=77 

 77 -- expresso equivalente com denominador racional 

 2- Racionalizar o denominador da expresso 5310. 
 Multiplicando 310 por 10, temos: 
 31010=3102=
  =310=30
 Dizemos que 10  o fator racionalizante da expresso 5310. 
 5310=?510*?310
  10*=510?3102*=
  =510?310*=106 

 106 -- expresso equivalente com denominador racional 

<p>
 3- Escrever na forma mais simples a expresso ?23*.
 ?23*=23 :> aplicamos uma das propriedades dos radicais 
 Para a expresso 23, o fator racionalizante  3. 
 23=?23*?33*=
  =632=63 

 4- Racionalizar o denominador da expresso 15a2, com a>0. 
  Quando o ndice do radical existente no denominador for diferente de 2, devemos ter 
um pouco mais de cuidado para achar o fator racionalizante. Na expresso 15a2, 
o fator racionalizante  dado por 5a?5-2*=5a3. 
  Da: 
 15a2=?15a3*
  ?5a25a3*=5a3
  ?5a2a3*=5a3
  5a5=5a3a 

 5a3a -- expresso equivalente com denominador racional
<L>
<84> 
 5- Racionalizar o denominador da expresso 21735. 
  Nessa expresso, o fator racionalizante  73?7-5*=
  =732. 
  Da: 
 21735=?21732*
  ?735732*=
  =21732?73532*=
  =21732737=
  =217323=7732 

 7732 -- expresso equivalente com denominador racional

 6- Racionalizar o denominador da expresso 1?5+2*. 
  Lembrando da regra dos produtos notveis, observamos que: 
 `(5+2`)`(5-2`)=
  =`(5`)2-`(2`)2=5-2=3 

 3 -- expresso racional 

<p>
 Ento, voc nota que o fator racionalizante da expresso dada  `(5-2`). 
 1?5+2*=?1`(5-2`)*
  ?`(5+2`)`(5-2`)*=
  =?5-2*?`(5`)2-
  -`(2`)2*=?5-2*?5-2*=
  =?5-2*3

 ?5-2*3 -- expresso equivalente com denominador racional 

 7- Racionalizar o denominador da expresso ?2+2*?2-2*.
  Considerando o exemplo anterior e observando a expresso dada, dizemos que o fator racionalizante dessa expresso  `(2+2`). 
 ?2+2*?2-2*=?`(2+2`)
  `(2+2`)*?`(2-2`)`(2+
  +2`)*=?4+22+22+
  +22*?`(2`)2-`(2`)2*=
 =?4+22+22+2*?4-2*=
  =?6+42*2=
 =?2`(3+22`)*2=3+22

<p>
 3+22 -- expresso equivalente com denominador racional
 
<85> 
 Exerccios 

 1. Racionalize o denominador de cada uma das seguintes expresses: 
 a) 210
 b) 66
 c) 93
 d) 52
 e) 2025 
 f) 36
 g) 20310
 h) 17
 i) 2352 
 j) 7327 

 2. No caderno, racionalize o denominador de cada expresso a seguir. 
 a) ?1-3*3 
 b) ?3-2*2 
 c) ?5+2*5 
 d) ?3-2*3 
<p>
 e) ?2+2*2 
 f) ?1+2*5

 3. Sabendo que x e y so nmeros reais positivos, 
racionalize o denominador de cada uma 
das seguintes expresses: 
 a) xx 
 b) x2y 
 c) xy5x 
 d) xyyx 

 4. Sabendo que n?ab*=
  =nanb, racionalize o denominador de cada expresso: 
 a) ?310* 
 b) ?53*
 c) ?12*
 d) ?18*
 e) 0,9 
 f) ?58*
 
 5. Considerando 6=2,449, 2=1,414 e 
10=3,162, calcule, no caderno, o valor na forma 
decimal, at a terceira casa decimal de cada uma 
das seguintes expresses: 
 a) ?32* 
 b) ?25*
 c) ?12*
 d) ?23*
 
 6. Racionalize o denominador de cada expresso a seguir. 
 a) 1563 
 b) 1535
 c) 2927 
 d) 61035
 e) 4483 
 f) 2011108 

 7. Racionalize o denominador de cada uma das seguintes expresses: 
 a) 1?3-6* 
 b) 2?5+3* 
 c) 1?4-5* 
 d) 11?23-1* 
 e) ?2-2*?3+2* 
 f) ?2-22*?2-2* 
 g) ?1+5*?3+5* 
 h) ?3-2*?3+2* 

               ::::::::::::::::::::::::

<86> 
 17 -- Simplificando expresses com radicais 
<R->

  Vamos usar as operaes com radicais j conhecidas para simplificar algumas expresses. 

<R+>
 1- Simplificar a expresso 1?3+7*+1?3-7*. 
 1?3+7*+1?3-7*=
 =?1`(3-7`)+1`(3+7`)*
  ?`(3+7`)`(3-7`)*=
 =?3-7+3+7*?`(3`)2-
  -`(7`)2*=6?9-7*=62=3

 2- Sendo x=36 e y=42, calcular o valor de x-y. 
 x-y=36-42= 
 =18-42=?182-
  -4*2=?36-4*2=
  =?6-4*2=22=
 =?22*?22*=22
  22=222=2
 Ento: x-y=2 

<p>
 3- Simplificar a expresso 2-2?1-2*. 
 2-2?1-2*=?2`(1-
  -2`)-2*?1-2*=?2-
  -22-2*?1-2*=
  =-2?1-2*=
 =?-2`(1+2`)*?`(1-2`)
  `(1+2`)*=?-2-22*
  ?`(1`)2-`(2`)2*=
  =?-2-22*?1-2*=
 =?-2-22*-1=2+22

<87> 
 Exerccios 

 1. Qual  o nmero inteiro que obtemos quando simplificamos a expresso a seguir? 

 1?3-3*+1?3+3* 

 2. Qual  o resultado da expresso a seguir? 

 `(?2+33*2`)
  `(?2-33*2`) 

<p>
 3. Qual  a forma mais simples de se escrever 
a expresso a seguir? 

 102`(2+22-2`) 

 4. Calcule o valor da expresso a seguir. 

 1?2+3*+1?2-3* 

 5. Qual  o valor da soma a seguir? 

 ?23*+?23*

 6. Sabendo que A=?32*-
  -?23*, qual  o valor de A? 
 7. Simplifique a expresso a seguir. 

 32`(3-1+1?3-1*`) 

<p>
 8. Qual  a forma mais simples de se escrever 
a expresso a seguir? 

 3+2?2-3*+3?2+3* 

               ::::::::::::::::::::::::

 18 -- Potncias com expoente 
  racional 
<R->

  Nos captulos anteriores, estudamos expresses da forma 102, 6-1 e 20, que so potncias 
com expoentes inteiros, cujos significados j conhecemos: 

 102=100 
 6-1=16 
 20=1 

  Mas qual ser o significado de uma potncia com expoente fracionrio? Vamos considerar 
algumas situaes. 

<p>
<R+>
 1- Qual o significado de 2?34*? 
 o Consideremos um nmero real y, tal que y=2?34*.
  Se elevarmos os dois membros  4 potncia, teremos: 
 y=2?34* :> y4=`(2?34*`)4 :> y4=23 I

 o Consideremos um nmero real x, tal que x=423. 
  Usando a definio que j vimos anteriormente, escrevemos: 
 x=423 :> x4=4212 :> x4=23 II

<88> 
 Comparando I e II, obtemos: 
 x4=23 e y4=23
 
 Como x>0 e y>0, temos: 
 x4=y4 :> x=y -- como os expoentes so iguais, as bases positivas tambm so iguais 

 Da, podemos escrever: 
 2?34*=423

 2- Vamos considerar, agora, o radical 5220. 
  Como o radicando 220 pode ser escrito na forma `(24`)5, podemos fazer: 
 5220=5`(24`)5=24 

 Ocorre que o expoente 4 pode ser escrito na forma 205 (4 e 205 expressam o mesmo nmero). 
 possvel, portanto, escrever:
 5220=24=2?205* 
 
 2?205* -- potncia com expoente fracionrio 
<R->

  O mesmo podemos fazer quando temos, por exemplo: 
 o 31012=10?123*
 o 6230=2?306*
 
  Voc observou que, nos exemplos dados, o expoente do radicando  mltiplo do ndice 
do radical. 
  Porm, procedemos dessa maneira 
<p>
mesmo quando isso no ocorre, ou seja: 
<R+>
 o 325=2?53*  
 o 3102=10?23* 
 o 5=5?15*
 o 835=3?58*
<R->

  Assim, podemos escrever: 

  a?mn*=nam com a,_r+, m,_z e n,_z+*.

  Observaes: 
<R+>
 o Todo radical pode ser escrito na forma de potncia com expoente fracionrio: 
 10=10?12* 
 352=5?23*

<89> 
 o Toda potncia com expoente fracionrio pode ser escrita na forma de radical: 
 2?13*=32
 6?34*=463
<R->

  Consideremos, agora, as seguintes situaes: 

<R+>
 1- Qual  o valor da expresso 125?13*? 
  Decompondo 125 em fatores primos, encontramos 125=53. 
 125?13*=`(53`)?13*=
  =5?313*=51=5 
 Logo: 125?13*=5.

 2- Qual  o valor da expresso 810,75? 
<R->

 _`[{o menino pensa_`]
  "As mesmas propriedades que 
j estudamos para expoentes 
inteiros valem tambm para 
as potncias com expoentes 
fracionrios."

<p>
<R+>
 Inicialmente, fazemos 0,75=75100=34.
 75100
 7525=3
 10025=4
 75100=34
 Decompondo 81 em fatores primos, temos 81=34. 
 810,75=81?34*=
  =`(34`)?34*=3?434*=
  =33=27 
 Logo: 810,75=27.

 3- Qual  o nmero real expresso por 36?-12*? 
  Decompondo 36 em fatores primos, encontramos 2232=
  =`(23`)2=62. 
 36?-12*=`(62`)?-12*=
  =6?2`(-12`)*=
  =6-1=16 
 Logo: 36?-12*=16.

<p>
 4- Determinar o valor da expresso 27?23*+4?52*. 
 27?23*+4?52*=
  =`(33`)?23*+
  +`(22`)?52*=
  =32+25=9+32=41 
 Logo: 27?23*+4?52*=41.

<90> 
 Exerccios 

 1. Escreva na forma de potncia com expoente 
fracionrio os seguintes radicais: 
 a) 723 
 b) 5104 
 c) 372 
 d) 25 
 e) 62 
 f) 95 
 g) 11 
 h) 423 

 2. Escreva na forma de radical as seguintes 
potncias com expoentes fracionrios: 
 a) 5?23* 
 b) 3?57* 
 c) 10?34* 
 d) 7?12* 
 e) 6?43* 
 f) 8?57* 
 g) 6?32* 
 h) 7?49*

 3. Sabendo que x  um nmero real positivo, 
escreva na forma de uma nica potncia de 
base x (com x>0) a expresso x?12*x?13*. 
Em seguida, escreva a potncia obtida na forma de radical. 

 4. Escreva na forma de uma nica potncia de 3: 
 a) `(3?13*`)?12*
 b) 3#;c3-#,f 
 c) 27?16*
 d) 9?54* 

 5. Escreva a expresso `[`(10`)3`]?16* na forma de 
uma nica potncia. 

<p>
 6. Considerando que as variveis so nmeros 
reais positivos, simplifique as expresses algbricas: 
 a) `(16x4y8`)?14* 
 b) `(4a6b10`)?12* 
 c) `[`(t+1`)2`(t-1`)2`]?12*
 d) `(256x4y8`)?14* 

 7. Determine o valor das potncias: 
 a) 8?43* 
 b) 2560,25 
 c) 64?32* 

 8. Qual  a frao que corresponde  potncia 
625-0,5?

<p>
 Tratando a informao 

 wr Geografia
  Atualidades 

 O desvio padro  
<R->

  A madrugada do dia 5 de junho foi considerada a mais fria do primeiro semestre de 2007, na 
cidade de So Paulo. Mas nem todos os paulistanos sentiram esse frio do mesmo jeito. Confira na 
tabela a seguir as temperaturas registradas em alguns bairros da cidade nesse dia. 

<R+>
 _`[{tabela "Temperatura em alguns bairros da cidade de So 
  Paulo" adaptada em duas colunas: Bairro -- Temperatura (em C)_`]
 Consolao -- 9,4        
 Ermelino Matarazzo -- 8,5         
 Capela do Socorro -- 8,2         
 Itaquera -- 7,9         
 Campo Limpo -- 7,7         
 Freguesia do  -- 7,3         
 Butant -- 6,9         
 Santana -- 6,6         
 Perus -- 5,2         
 Parelheiros -- 3,6         

 Fonte: *Veja*. So Paulo: Abril, 13 jun. 2007. 

<91> 
 Chegou a sua vez! 

 1. Qual foi a variao entre a maior e a menor temperatura registrada? 
 2. Em qual bairro foi registrada a maior temperatura nessa madrugada? E a menor? 
 3. Qual a temperatura mdia registrada nessa madrugada nos bairros que a tabela apresenta? 
 4. Em qual bairro ocorreu a temperatura mais prxima da mdia? 

 5. Podemos determinar o afastamento ou desvio de cada uma dessas temperaturas 
em relao  temperatura mdia registrada em So Paulo nessa madrugada. Para isso, 
efetuamos a diferena entre a temperatura registrada em cada bairro e a temperatura 
mdia. 
 a) Determine o desvio de cada temperatura da tabela. 
 b) Considerando o valor absoluto (mdulo) desses afastamentos, em qual bairro ocorreu 
o maior afastamento da temperatura registrada em relao  temperatura mdia? E o menor? 
 
 6. Na Estatstica, o clculo do desvio padro baseia-se nos afastamentos ou desvios 
dos valores de uma varivel em torno de sua mdia aritmtica.  uma medida 
muito utilizada para determinar a disperso desses valores em relao a seu valor 
mdio. Para calcular o desvio padro dos valores de um grupo de dados, devemos: 
 o calcular a mdia aritmtica dos valores desse conjunto de dados; 
<p>
 o calcular o desvio entre cada valor e a mdia encontrada; 
 o elevar ao quadrado o valor de cada desvio encontrado; 
 o calcular a mdia aritmtica dos quadrados dos desvios encontrados; 
 o extrair a raiz quadrada da mdia aritmtica dos quadrados dos desvios. 

 Agora, com o auxlio de uma calculadora, determine o desvio padro das temperaturas indicadas 
na tabela da pgina 248. Para facilitar os clculos, monte a tabela no seu caderno, com mais 
trs colunas, uma com a temperatura mdia, outra para os desvios e a ltima para os quadrados 
dos desvios. 
<R->

<p>
 Retomando o que aprendeu 

  Responda s questes em seu caderno. 

<R+>
 1. Qual  o resultado da expresso 5`(?5+5*`)
  `(?5-5*`)? 
 a) 5 
 b) 25 
 c) 10 
 d) 105 
 e) -10 

 2. Qual  o nmero que se obtm simplificando a expresso 5?31+?6?10-?83-
  -4****? 
 a) 2 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 4 
 e) 6 

 3. A expresso numrica 81?12*+32?15* tem valor: 
<p>
 a) 7 
 b) 8 
 c) 9 
 d) 10 
 e) 11 

 4. Se a>0, qual  a forma mais simples de 
escrever ?aa*?
 a) a 
 b) 4a 
 c) a 
 d) 4a3
 e) aa 

<92>
 5. Sabendo que 2+x=42 e 3y=56, calcule o valor de x+y.
 a) 22 
 b) 42 
 c) 52 
 d) 82
 e) 102

 6. Sendo a=24 e b=436, o valor do produto ab ser:
 a) 26  
 b) 6 
 c) 12 
 d) 46
 e) 24

 7. A expresso `(3?629*`)5
  `(6?329*`)5  igual a:
 a) 2 
 b) 22 
 c) 32 
 d) 102
 e) 32

 8. Qual  o valor da expresso 32+48-50-`(2`)3?
 a) 52 
 b) 2 
 c) -52  
 d) 62
 e) -2

 9. Se a=16 e b=1,25, quanto vale ab?
 a) 64 
 b) 32
 c) 20 
 d) 162
 e) 2
<L>
 10. Se x=1-3 e y=-1+3, o nmero
real que expressa o valor x2-y2 :
 a) 3 
 b) 1 
 c) -1 
 d) 0
 e) 2

 11. Sabendo que x?2*=
  =122 e 3?y5*=155, o valor de x-y :
 a) 1 
 b) 0 
 c) 6 
 d) 5
 e) 10

 12. So dadas as expresses 236=2p, 10q=0,0001 e r=25?12*. Qual  o valor de p+q+r?
 a) 27 
 b) 19 
 c) 18
<p>
 d) 17
 e) 21

 13. Se voc simplificar a expresso ??`(x+y`)2-
  -4xy**?2x-2y*, com x=y, voc vai obter:
 a) 1?x-y*
 b) x-y 
 c) 12
 d) 14
 e) -12

 14. Qual  o nmero inteiro que voc
obtm quando simplifica a expresso 310-10?10-
  -3*?
 a) 1 
 b) 5 
 c) 10 
 d) -10
 e) -5

 15. Se A=8?13*+
  +16?14*-`(-2`)2+
  +8?43*, ento A
vale:
 a) 20 
 b) 18 
 c) 16 
 d) 14 
 e) 10

 16. Sabendo que E=?x-x*?x+
  +1*, o valor de E quando x=2 :
 a) 32-4 
 b) 32 
 c) -4 
 d) 2-4
 e) 72

 17. A expresso 75+13+
  +233  igual a:
 a) 3 
 b) 23 
 c) 43 
 d) 53
 e) 63

 18. Simplificando a expresso 3?3-1*-13+
  +2?1+3* vamos obter:
 a) 73+3 
 b) ?-53+15*6
 c) ?53-15*6
 d) ?73+3*6
 e) ?73+1*2

 19. O valor da expresso 320,2+270,5-
  -`(108`)?12*2+
  +`(0,0016`)0,25 :
 a) 2 
 b) 2,2 
 c) 22
 d) 2,2+63
 e) 22+63
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Segunda Parte